001 上一章注释[001]（2/2）

f，它的功能是把n个函数组合在一起：

f:nn—n

具体的，如果每一个被组合的函数都可以接受同一组参数(x1，...，xm)，那么组合n个函数的操作可以被表示为：

f·[1，...，n]:nm—n

展开为：

f·[1，...，n](x1，...，xm)=f(1(x1，...，xm)，...，n(x1，...，xm))

举个栗子：

我们构造一个函数ne，ne(x)=1，即：不论给它什么输入，它都输出为1，那么：

ne(x)=(0)=(ze(x))

即：·[ze]=ne

验证一下：

·[ze](x)=(ze(x))=(0)=1

和ze两个基本函数组成了我们要的ne，完美。

如果栗子再复杂一点，我们想要一个加法器add，add(x，y)=x+y，怎么用那三种基本函数组合？

也很简单，从具体输入入手：

add(3，2)=(add(3，1))=((add(3，0)))=((3))

似乎只需要组合多个后继函数就可以了呢。

当然，这里面有一个毛病，在于我们在没有定义好add的前提下，先入为主地认为add(3，0)=3.

所以我们不能认为自己就这么简单地构造了add，只能退而求其次地得到以下关系：

add(x，y+1)=(add(x，y))，这个式子是十分严谨的。

更具体地，要想算出add(x，y+1)，就要知道add(x，0)=x，我们称add(x，0)=x为基准条件；add(x，y+1)=(add(x，y))为递归条件。

看起来就差临门一脚了，只要我们能用三种基本函数构造出add(x，0)=x，就能得到add(x，y+1)，也就能构造出我们想要的加法器。

也很显然，add(x，0)=x=pj11

于是，我们的加法器有了。

这种看起来很像左脚踩右脚登天的构造方式叫做“原始递归”，它的定义是这样的：

基准函数f:nn—n

递归函数:nn+2—n

使用f和的原始递归h=pn(f，):nn+1—n