第十四章 不能太惯着他（1/3）

这个头发有点自然卷、相貌还挺帅气的男学生，却和刚才的综合大题一样，只看了一遍题目，便开始写解题步骤，似乎根本不用思考，当然，更可能的是在看完题目的一瞬间就有了解题思路。

不过区区两分钟，他已完成了第一道附加题，继续写起了第二题的答案。

徐世朝完全石化了，心中除了“卧槽”外完全想不到别的感叹词。

这个男生到底是何方神圣？这已不能称之为“学霸”，要称“学神”了吧？高二有这么强的数学学神吗？

徐世朝自问对于学校里的数学尖子生都算是认识的，去年的奥数初赛他也帮着带队、担起生活保障的职责，可这男生分明就没参加过上一年度的奥数初赛啊！

正当徐世朝目瞪口呆之时，忽然感觉有人拍了拍自己的肩膀，他回头一看，原来是前辈老郑来了。

老郑做了个噤声的动作，然后和他一起站在男生的后面，看着男生答题。

男生已在看第三道连徐世朝都没信心做出来的难题了。

“求证：数列an=3^ncos(narccos1/3)(n=1，2…)的每一项都是整数，但都不是3的倍数。”

男学生这回终于停了两秒钟，然后就在两个老师的注视下，写下了“证明方法一”。

徐世朝当场倒抽了口凉气，这家伙，难道就在刚才的两秒思考时间里，想到了两种证明方法？

“证明方法一：设θ=arccos1/3，则cosθ=1/3，且an=3^ncosnθ，

（1）当n=1，2时，a1=3cosθ=1，a2=3^2cos2θ=9(2cos^2θ-1)=9*(-7/9)=-7

1和-7都是整数且不是3的倍数，命题可证。

（2）假设a(k-1)，ak都是整数，且都不是3的倍数，由三角公式可得（注：k-1为下标）：

a(k+1)=3^(k+1)cos(k+1)θ=3^(k+1)[2cosθcoskθ-cos(k-1)θ]=2ak-9a(k-1)

……

由数学归纳法可知，命题对于一切正整数成立。”

“证明方法二：设θ=arccos1/3，则cosθ=1/3，sinθ=2*2^(1/2)/3，

引入复数z=3(cosθ+isinθ)=1+2*2^(1/2)i

则an是复数z^n=[1+2*2^(1/2)i]^n的实部